Math - Cours Algèbre 1 st sm USTHB

math st usthb
un polycopie d’algèbre cours détaillé pour les premières Année ST SM LMD cycle licence 






Table des matières
1 Introduction 4
1.1 Ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1 Ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.3 Lois internes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Analyse combinatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.1 Permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.2 Arrangements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.3 Combinaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.4 Binôme de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Nombres complexes 12
2.1 L’ensemble C des nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.1 Une construction de C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.2 Les nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 Équations du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.1 Équations de type z2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.2 Équations de type az2 + bz + c = 0, a 6= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 Racines n-ièmes de l’unité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3 Polynômes 21
3.1 L’anneau K[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.1.1 L’ensemble K[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.1.2 Structures algébriques sur K[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.1.3 Polynômes à coefficients dans K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2 Division euclidienne dans K[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2.1 Division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2.2 K[X] est principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3 Fonctions polynômiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.4 Polynôme dérivé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.5 Polynômes irréductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.5.1 Polynômes irréductibles de C[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.5.2 Polynômes irréductibles de R[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4 Algèbre linéaire 36
4.1 K-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.1.1 Familles de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.1.2 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.2 Formes n-linéaires alternées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.2.1 Formes n-linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.2.2 Formes n-linéaires alternées et familles de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.3 Déterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.3.1 Calculs de déterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.3.2 Systèmes de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.3.3 Rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.4 Pivot de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.4.1 Détermination du rang d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2
4.4.2 Résolution d’un système d’équations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
A Fractions rationnelles 57
A.1 L’ensemble K(X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
A.1.1 Une construction de K(X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
A.1.2 Un produit et une somme sur K(X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
A.1.3 Une injection de K[X] dans K(X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
A.2 Décomposition en éléments simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Bibliographie 62
Index

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C’est TIGHILT Amirouche. Je suis passionné par le web, la culture, l’histoire, la politique, le développement personnel ainsi que les nouvelles technologies, étudiant en 3ème année Hydraulique, fondateur de L1 ST SM USTHB.

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