Cours d’algèbre - Logique, ensemble, relations, structure algebrique

Cours d’algèbre math usthb st
Cours d’algèbre - Logique, ensemble, relations, structure algébrique
pour les premières année LMD ST/SM








Table des matières
1 ELÉMENTS DE LOGIQUE 5
1.1 Opérations Logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 La négation ¬ : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 La Conjonction ∧ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.3 La Disjonction ∨ : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.4 Règles de De Morgan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.5 L’Implication =⇒ : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.6 La contraposée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.7 La réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Propriétés des opérations logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 ELÉMENTS DE LA THÉORIE DES ENSEMBLES 13
2.1 Les Ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.1 Les quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.2 Parties d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.3 Opérations sur les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Applications et Fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.1 Composition d’applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.2 Restriction et prolongement d’une application . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.3 Images et images réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.4 Applications injectives, surjectives, bijectives . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.5 Fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3 Relations binaires 29
3.1 Relations d’équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.1.1 Décomposition d’une application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2 Relations d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2.1 Plus petit, Plus grand élément . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2.2 Eléments Minimaux et éléments maximaux . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2.3 Borne Inférieure, Borne Supérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Le Cours d’Algèbre. -3- Par M. Mechab
TABLE DES MATIÈRES
4 STRUCTURES ALGEBRIQUES 39
4.1 Lois de Compositions Internes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.1.1 Unicité de l’inverse (du symétrique) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.2 Structure de Groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.2.1 Groupes à deux éléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.2.2 Sous groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.2.3 Goupes Quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.2.4 Homomorphismes de Groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.3 Structure d’Anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.3.1 Sous Anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.3.2 Homomorphismes d’Anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.3.3 Idéaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.3.4 Anneaux Quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.4 Corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.4.1 Caractéristique d’un corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

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C’est TIGHILT Amirouche. Je suis passionné par le web, la culture, l’histoire, la politique, le développement personnel ainsi que les nouvelles technologies, étudiant en 3ème année Hydraulique, fondateur de L1 ST SM USTHB.

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